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14.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<\frac{π}{2})的圖象如圖所示,把函數(shù)f(x)的圖象向右平移\frac{π}{4}個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
(1)求y=g(x)得解析式,
(2)若直線y=m與函數(shù)g(x)圖象在x∈[0,\frac{π}{2}]時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為x1,x2,求g(x1+x2)的值;
(3)已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且c=3,g(C)=1.若向量\overrightarrow m=(1,sinA)\overrightarrow n=(2,sinB)共線,求a、b的值.

分析 (1)由圖象可求T,利用周期公式可求ω,又2×\frac{π}{3}+ϕ=π,可求φ,由圖象變換,得y=g(x)得解析式.
(2)由函數(shù)圖象的對(duì)稱性,即可求得g({x_1}+{x_2})=g(\frac{2π}{3})=-\frac{1}{2}
(3)由題意可得sin(2C-\frac{π}{6})=1,由范圍0<C<π,可求-\frac{π}{6}<2C-\frac{π}{6}<\frac{11π}{6},求得C的值,由向量共線可求sinB-2sinA=0.由正弦定理  \frac{a}{sinA}=\frac{sinB},得b=2a,由余弦定理,得9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3},聯(lián)立即可解得a,b的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象,T=4(\frac{7π}{12}-\frac{π}{3})=\frac{2π}{ω},得ω=2,
2×\frac{π}{3}+ϕ=π,
可得:ϕ=\frac{π}{3},
所以f(x)=sin(2x+\frac{π}{3}),…(2分)
由圖象變換,得g(x)=f(x-\frac{π}{4})=sin(2x-\frac{π}{6}),…(4分)
(2)由函數(shù)圖象的對(duì)稱性,有g({x_1}+{x_2})=g(\frac{2π}{3})=-\frac{1}{2}.…(6分)
(3)∵sin(2C-\frac{π}{6})=1
∵0<C<π,-\frac{π}{6}<2C-\frac{π}{6}<\frac{11π}{6}
2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2},
C=\frac{π}{3}.     …(7分)
\overrightarrow m與\overrightarrow n共線,
∴sinB-2sinA=0.
由正弦定理  \frac{a}{sinA}=\frac{sinB},得b=2a,①…(9分)
∵c=3,由余弦定理,得9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3},②…(11分)
解方程組①②,得\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right..       …(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,三角函數(shù)圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性,正弦定理,余弦定理,平面向量共線的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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