Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈[0，π]，若存在常數(shù)m∈R，滿足：對任意的x₁∈[0，π]，都存在x₂∈[0，π]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=m，則常數(shù)m的值是

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：利用兩角和的正弦公式化簡化簡解析式，由x的范圍求出x+

π

4

的范圍，由正弦函數(shù)的性質求出f（x）的值域，再由題意求出m的值即可．

解答： 解：由題意知，函數(shù)f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
因為x∈[0，π]，所以x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
則當x=π時，即x+

π

4

=

5π

4

時，函數(shù)f（x）取最小值是

2

×(-

2

2

)=-1，
當x=

π

4

時，即x+

π

4

=

π

2

時，函數(shù)f（x）取最大值是

2

，
所以函數(shù)f（x）的值域是[-1，

2

]，
根據(jù)題意可得，m=

2 -1

2

，
故答案為：

2 -1

2

．

點評：本題考查正弦函數(shù)的性質，兩角和的正弦公式，熟練掌握公式和定義是解題的關鍵．