Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別是線段、的中點，．

（1）證明：平面；

（2）設點是線段的中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法可求出二面角的余弦值.

（1）取的中點為，連接、，如圖：

四邊形為正方形，、、分別是線段、、的中點，

且，且，，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面；

（2）平面，四邊形是正方形，、、兩兩垂直，

以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、、、，

，，，

設平面的法向量為，則，

取，則，，則平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，則，

取，則，，則平面的一個法向量為.

，

由圖形可知，二面角為銳角，其余弦值為.