Question

已知函數(shù)f（x）=2ax-ln2x，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（

1

2

，f（

1

2

））處切線方程，并判斷切線與f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
（2）若f（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=2x-ln2x并求導(dǎo)f′（x）=2-

1

x

；從而求切線方程，作圖判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）f（x）存在零點(diǎn)可化為y=2ax與y=ln2x有交點(diǎn)，作函數(shù)y=2ax與y=ln2x的圖象，結(jié)合圖象求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x-ln2x，
f′（x）=2-

1

x

；
故f′（

1

2

）=2-2=0，f（

1

2

）=1；
故切線方程為y-1=0；
則切線與f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程2x-ln2x=1的解的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=ln2x與y=2x-1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
作函數(shù)y=ln2x與y=2x-1的圖象如下，

故切線與f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
（2）f（x）存在零點(diǎn)可化為y=2ax與y=ln2x有交點(diǎn)，
作函數(shù)y=2ax與y=ln2x的圖象如下，

當(dāng)直線y=2ax與y=ln2x相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為（x，ln2x），則

ln2x

x

=

1

x

；
故2x=e；
故

1

x

=

2

e

=2a；
故a=

1

e

；
結(jié)合函數(shù)圖象知，a≤

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．