Question

（本題滿分14分）如圖，橢圓的頂點為焦點為，，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線過，且與橢圓相交于兩點，當是的中點時，求直線的方程．

（3）設為過原點的直線，是與垂直相交于點且與橢圓相交于兩點的直線，，是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在以為直徑的圓過原點的直線.

【解析】

試題分析：（1）根據題中條件容易得出，，結合，可確定的值，進而寫出橢圓的方程即可；（2）分直線的斜存在與不存在兩種情況進行求解，當直線的斜率存在時，設出直線的方程，利用點差法，結合是的中點，即可求直線的方程，當直線的斜率不存在時，檢驗即可；（3）先設，假設所求直線存在，則必有，進而得到，然后分直線的斜率存在與不存在兩種情況進行求解判斷直線的存在與否即可.

試題解析：（1）依題意有， 1分

又由，有， 2分

解得， 3分，故橢圓C的方程為 4分

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，

則，，兩式相減得：

∵是的中點，∴ 可得直線的斜率為

當直線的斜率不存在時，將代入橢圓方程并解得，

這時的中點為，∴不符合題設要求 8分

綜上，直線的方程為 9分

（3）設兩點的坐標分別為，假設滿足題設的直線存在

（i）當不垂直于軸時，設的方程為，由與垂直相交于點且得，即， 10分

又∵以AB為直徑的圓過原點，∴， ∴

將代入橢圓方程，得

由求根公式可得 ④

⑤

將④，⑤代入上式并化簡得

，⑥

將代入⑥并化簡得，矛盾

即此時直線不存在. 12分

（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為或

當時，的坐標分別為

，

當時，同理可得

即此時直線也不存在 13分

綜上可知，使以為直徑的圓過原點的直線不存在 14分.

考點：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.直線的方程；3.分類討論的思想.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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