Question

已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；
（2）函數(shù)g（x）=log₂f（x），x∈[-5，-3]的值域?yàn)锳，且C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}（a為常數(shù)），若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
，
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
則，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又x₁，x₂∈（-2，+∞），∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
（2）∵f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)．
∵g（x）=log₂f（x），∴g（x）在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=?，則a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠?時(shí)，，
綜上所述：．
分析：（1），利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷；
（2）由（1）可得f（x）在[-5，-3]上的單調(diào)性，進(jìn)而得g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可求A，由C_RB可求B，因?yàn)锳∩B=B，所以B⊆A，分B=∅，B≠∅兩種情況討論即可．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)值域的求解及集合運(yùn)算，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．