Question

將邊長為1的正三角形ABC，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形DBCE．設剪成的小正三角形ADE的邊長為x，記T=

(梯形DBCE的周長)2

梯形DBCE的面積

（1）求T關于x的表達式以及x的取值范圍；
（2）求T的最小值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數解析式的求解及常用方法,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）設剪成的小正三角形ADE的邊長為x，則BD=EC=1-x，根據圖形求出梯形的面積，周長，即可求出T的式子，
（2）求導數，運用導數判斷最值，求出即可．

解答： 解：（1）設剪成的小正三角形ADE的邊長為x，
則BD=EC=1-x，
所以梯形BDEC的面積=

1

2

×（x+1）×

3

2

（1-x）=

3

4

（1-x²）
梯形BDEC的周長=2（1-x）x+1=3-x
∵記T=

(梯形DBCE的周長)2

梯形DBCE的面積

∴T=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

，（x∈（0，1））
（2）求導數得：T′=

4

3

•

2(3-x)(3X-1)

(1-x2 )2

，x∈（0，1）
T′=0，得x=3，x=

1

3

，
T′＞0，

1

3

＜x＜3，
T′＜0，x＜

1

3

，或x＞3，
∵x∈（0，1）
∴（0，

1

3

）上遞減，（

1

3

，1）上遞增
所以當x=

1

3

時，T的最小值T（

1

3

）=

32

3

．

點評：本題考察了函數在實際問題中的應用，運用導數求解最值問題，屬于中檔題．