Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx．
（Ⅰ）若直線y=x+b與f（x）在x=1處相切，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若a＞0，求證：f（x）存在唯一極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)（1，0），結(jié)合切線方程和函數(shù)導(dǎo)數(shù)，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）對f（x）二次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=（x-a）lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=

x-a

x

+lnx（x＞0），
由f（1）=0，則切點(diǎn)為（1，0），
代入切線方程，可得b=-1，
由切線斜率為1，則有1=1-a，解得a=0；
（Ⅱ）證明：令g（x）=f′（x）=

x-a

x

+lnx=1+lnx-

a

x

，
由a＞0，g′（x）=

1

x

+

a

x2

＞0，
g（x）在（0，+∞）上遞增，即f′（x）在（0，+∞）上遞增，
當(dāng)x∈（0，e-1）時(shí)，f′（x）＜0，
f′（1+a²）=

a2+1-a

a2+1

+ln（1+a²）＞0，
f′（x）在（0，+∞）上由唯一的零點(diǎn)x₀，
又由0＜x＜x₀時(shí)，f′（x）＜0，x＞x₀時(shí)，f′（x）＞0，
則有f（x）有唯一極小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理和二次求導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵．