Question

已知兩個正實數(shù)x，y滿足

2

x

+

1

y

=1，并且x+2y≥m²-2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（-2，4）
• B、[-2，4]
• C、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)可得x+2y的最小值，x+2y≥m²-2m恒成立?(x+2y)min≥m2-2m，即可得出．

解答： 解：∵兩個正實數(shù)x，y滿足

2

x

+

1

y

=1，
∴x+2y=（x+2y）(

2

x

+

1

y

)=4+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=8，當且僅當x=2y=4時取等號．
∵x+2y≥m²-2m恒成立，
∴(x+2y)min≥m2-2m，
∴m²-2m≤8，
解得-2≤m≤4．
∴實數(shù)m的取值范圍是[-2，4]．
故選：B．

點評：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于基礎題．