Question

18．在△ABC中，若BC=2，A=120°，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，⇒4=AC²+AB²-2AC•ABcosA⇒4=AC²+AB²+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=AC•ABcos120°即可

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，∴$（\overrightarrow{BC}）^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$⇒4=AC²+AB²-2AC•ABcosA⇒4=AC²+AB²+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤$\frac{4}{3}$
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=AC•ABcos120°≤$\frac{2}{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值為 $\frac{2}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，涉及了不等式a²+b²≥2ab的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．