Question

（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，N.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列? 若存在, 求的值； 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列．

【解析】

試題分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）假設(shè)存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列，由, , 成等比數(shù)列得：，化簡(jiǎn)，解出的值，與為正整數(shù)矛盾，故不存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列．

試題解析：（1）【解析】
∵，

∴. 1分

（2）解法1：由，得， 2分

故. 3分

∵，∴.

∴. 4分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

∴. 5分

∴. 6分

當(dāng)時(shí)，， 8分

又適合上式，

∴. 9分

解法2：由，得， 2分

當(dāng)時(shí)，， 3分

∴. ４分

∴.

∴. ５分

∵ ，

∴. ６分

∴數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列． ７分

∴． ８分

∵適合上式，

∴. 9分

解法3：由已知及（1）得，，

猜想. 2分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

① 當(dāng)，時(shí)，由已知，，猜想成立. 3分

② 假設(shè)時(shí)，猜想成立，即， 4分

由已知，得，

故.

∴. 5分

∴.

∴. 6分

∵，

∴. 7分

∴. 8分

故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.

由①②知，猜想成立，即. 9分

（3）【解析】
由(2)知, .

假設(shè)存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列,則. 10分

即. 11分

∵ 為正整數(shù)，

∴ .

∴ .

∴ .

化簡(jiǎn)得 . 12分

∵ ,

∴ .

解得, 與為正整數(shù)矛盾. 13分

∴ 不存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列. 14分

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等比數(shù)列的性質(zhì)；3、等差數(shù)列的前項(xiàng)和.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：等比數(shù)列 試題屬性

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