分析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),由已知列式求出首項(xiàng)和公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案;
(2)寫出等比數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式,得到bn的通項(xiàng)公式,再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
由a5+S7=74,a4是a1和a13的等比中項(xiàng),得:
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d+7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=74}\\{({a}_{1}+3d)^{2}={a}_{1}({a}_{1}+12d)}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$.
∴an=3+2(n-1)=2n+1;
(2)∵{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列,
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}={3}^{n}$,則$_{n}={3}^{n}{a}_{n}=(2n+1)•{3}^{n}$.
∴Tn=3•31+5•32+…+(2n-1)•3n-1+(2n+1)•3n,
$3{T}_{n}=3•{3}^{2}+5•{3}^{3}+…+(2n-1)•{3}^{n}+(2n+1)•{3}^{n+1}$,
兩式作差得:$-2{T}_{n}=9+2({3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n})-(2n+1)•{3}^{n+1}$
=$9+2•\frac{9(1-{3}^{n-1})}{1-3}-(2n+1)•{3}^{n+1}$=9-9+3n+1-2n•3n+1-3n+1=-2n•3n+1.
∴${T}_{n}=n•{3}^{n+1}$.
點(diǎn)評 本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題,考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.
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A. | [$\frac{9}{2}$,+∞) | B. | (-∞,3] | C. | (3,$\frac{9}{2}$) | D. | (0,3) |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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