Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，且

（I）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（II）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

Answer 1

【答案】（I），；（II）

【解析】

（I）利用求得；根據(jù)求得，從而可知是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；利用可證得，可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比、偶數(shù)項(xiàng)成等比，分別求解出為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下的通項(xiàng)公式即可；（II）由（I）可得，采用分組求和的方式；對采用錯(cuò)位相減法求和；對分為為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況來討論；從而可對兩個(gè)部分加和得到結(jié)果.

（I）當(dāng)時(shí)，，即

由可得

即：

又 是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列

由題意得：

由兩式相除得：

是奇數(shù)時(shí)，是公比是，首項(xiàng)的等比數(shù)列

同理是偶數(shù)時(shí)是公比是，首項(xiàng)的等比數(shù)列

綜上：

（II），即

令的前項(xiàng)和為，則

兩式相減得：

令的前項(xiàng)和為

綜上：