Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的圖象是否是中心對稱圖形？若是，求出對稱中心；若不是，請說明理由；

（2）設(shè)，試討論的零點個數(shù)情況.

Answer 1

【答案】（1）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：；（2）當或時，有個零點；當時，有個零點

【解析】

（1）設(shè)，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，從而可得的對稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)的討論，即的解的個數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個數(shù)，從而得到零點個數(shù)，綜合得到結(jié)果.

（1） 設(shè) 定義域為：

為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱

的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：

（2）令

，可知為其中一個解，即為一個零點

只需討論的解的個數(shù)即可

①當時，無解

有且僅有一個零點

②當時 ， 為方程的解

有，共個零點

③當時，

（i）若，即時，

為方程的解

有，共個零點

（ii）若，即時，的解為：

有且僅有一個零點

（iii）若，即時，，方程無解

有且僅有一個零點

綜上所述：當或時，有個零點；當時，有個零點