已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(diǎn)(2，)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過原點(diǎn)O，若kAC·kBD＝－.

求證：四邊形ABCD的面積為定值．

 


解　(1)由題意e＝＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，

解得a2＝8，b2＝4，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，①

∴4k2＋2＝m2.

設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則

∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝8，

即四邊形ABCD的面積為定值．

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　)

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若M，N為兩個(gè)定點(diǎn)，且|MN|＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡是(　　)

A．圓                                   B．橢圓

C．雙曲線                               D．拋物線

 

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過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，斜率為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若＝λλ>1)，則λ的值為(　　)

A．5                                    B．4

C.                                    D.

 

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如圖，橢圓長軸的端點(diǎn)為A，B，O為橢圓的中心，F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的值為(　　)

A．15                                   B．105

C．245                                  D．945

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


 如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△APB的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出程序框圖．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為(　　)

A.                                    B.

C.                                    D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)

A．9                                    B．14

C．15                                   D．21

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