已知橢圓+
=1(a>b>0)的離心率為
,且過(guò)點(diǎn)(2,
).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上,且對(duì)角線(xiàn)AC,BD過(guò)原點(diǎn)O,若kAC·kBD=-.
求證:四邊形ABCD的面積為定值.
解 (1)由題意e==
,
+
=1,又a2=b2+c2,
解得a2=8,b2=4,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+
=1.
(2)證明:設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,①
∴4k2+2=m2.
設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d,則
∴S四邊形ABCD=4S△AOB=8
,
即四邊形ABCD的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知橢圓C1:+
=1(a>b>0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線(xiàn)互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
若M,N為兩個(gè)定點(diǎn),且|MN|=6,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,則P點(diǎn)的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若
=λ
λ>1),則λ的值為( )
A.5 B.4
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為A,B,O為橢圓的中心,F為橢圓的右焦點(diǎn),且,
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M,直線(xiàn)l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在直線(xiàn)l,使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心,若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出S的值為( )
A.15 B.105
C.245 D.945
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,沿著折線(xiàn)BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△APB的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫(huà)出程序框圖.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二次抽取時(shí),余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為,則在整個(gè)抽樣過(guò)程中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把滿(mǎn)足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x,y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.9 B.14
C.15 D.21
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