Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：PC⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐V_B-MAC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，證明PC⊥平面ABC，然后證明PC⊥AC；
（Ⅱ）由PC⊥平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由兩面垂直的性質(zhì)定理可得三棱錐A-MBC的高，解直角三角形求出三棱錐A-MBC的高，則體積可求．

解答： （I）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC．
（II）解：∵PC⊥平面ABC，PC?平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，
如圖，在平面ABC中過A作AD垂直于BC的延長線與D，則AD⊥平面PCBM，則AD為三棱錐A-MBC的高，
∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=ACsin60°=1×

3

2

．
又S_△BMC=S_{四邊形PCBM}-S_△MPC=

1

2

（PM+BC）•PC-

1

2

PM•PC
=

1

2

（1+2）×1-

1

2

×1×1=1
∴V_B-MAC=V_A-MBC=

1

3

S△MBC•AD=

3

6

∴三棱錐B-MAC的體積為

3

6

．

點評：本題主要考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查三棱錐B-MAC的體積的計算，考查考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．