Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；

（2）若函數(shù)的最大值是，求的值；

（3）已知，若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）時(shí)寫出函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)真數(shù)范圍求解函數(shù)值域即可。（2）設(shè)換元真數(shù)部分為關(guān)于的一元二次函數(shù)，又有最大值，所以開口只能向下，即，在對(duì)稱軸處取得最大值，即可求出的范圍。（3）較易判斷為增函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>可理解為函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)正數(shù)交點(diǎn)，，另外將進(jìn)行換元即可轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一個(gè)一元二次函數(shù)求解。

（1）時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以

所以此時(shí)的值域是。

（2）設(shè)，則，若此時(shí)，開口向上沒有最大值。由第一問可知）時(shí)也不滿足，所以開口只能向下，即且此時(shí)對(duì)稱軸。

當(dāng)時(shí)，最大值在對(duì)稱軸處取得，

即

解出 或（舍）

所以。

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)真數(shù)為，此時(shí)對(duì)稱軸，所以當(dāng)時(shí)m為增函數(shù)，即為增函數(shù)。

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，的值域?yàn)?/span>，可理解為函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)正數(shù)交點(diǎn)，，

即有兩個(gè)正根。

即，設(shè)

所以

即有兩個(gè)大于1的根。

所以此時(shí)只需即可，即

又，所以。