【題目】為了提升學生“數(shù)學建模”的核心素養(yǎng),某校數(shù)學興趣活動小組指導老師給學生布置了一項探究任務:如圖,有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC,從中裁出等邊三角形紙片作為底面,從剩余梯形中裁出三個全等的矩形作為側(cè)面,圍成一個無蓋的三棱柱(不計損耗).
(1)若三棱柱的側(cè)面積等于底面積,求此三棱柱的底面邊長;
(2)當三棱柱的底面邊長為何值時,三棱柱的體積最大?
【答案】(1)18cm(2)18cm
【解析】
(1) 設三棱柱的底面邊長為,再根據(jù)三角形中的關系表達出底面積和與側(cè)面積的關系式再解方程即可.
(2)同(1)可知,再求導分析函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可.
設三棱柱的底面邊長為,即,
則.
因為為等邊三角形,
所以三棱柱的高為.
(1)因為三棱柱的底面積為,
側(cè)面積為,
所以,
解得或(舍去).
即三棱柱的底面邊長為18cm.
(2)三棱柱的體積.
因為,,
所以.
因為,
所以當時,,故單調(diào)遞增;
當時,,故單調(diào)遞減.
所以當時,取到極大值,也是最大值,
.
即當?shù)酌孢呴L為18cm時,三棱柱的體積最大,為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚我國古代的“六藝文化”,某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程,每周一門,連續(xù)開設六周.則“課程‘樂’不排在第一周,課程‘御’不排在最后一周”的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)直線l與曲線C相交于M,N兩點,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合,從P中任取2個元素,分別記為a,b.
(1)若,隨機變量X表示ab被3除的余數(shù),求的概率;
(2)若(且),隨機變量Y表示被5除的余數(shù),求Y的概率分布及數(shù)學期望.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求經(jīng)過橢圓右焦點且與直線垂直的直線的極坐標方程;
(2)若為橢圓上任意-點,當點到直線距離最小時,求點的直角坐標.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程是.
(1)若直線與圓有公共點,試求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,過點且與直線平行的直線交圓于兩點,求的值.
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