Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=

1

2n

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用累加法即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1-a_n=

1

2n

（n∈N^*）
∴a₂-a₁=

1

2

，a₃-a₂=

1

22

，…a_n-a_n-1=

1

2n-1

，
等式兩邊相加得a_n-a₁=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，
即a_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-1，
當(dāng)n=1，a₁=1滿足a_n，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2-（

1

2

）^n-1．
（2）b_n=na_n=2n-n（

1

2

）^n-1．
設(shè){n（

1

2

）^n-1}的前n項(xiàng)和T_n．
則T_n=1+2×（

1

2

）¹+3×（

1

2

）²+…+（n-1）×（

1

2

）^n-2+n（

1

2

）^n-1，
于是

1

2

T_n=

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n-1）×（

1

2

）^n-1+n×（

1

2

）ⁿ，②（2分）
兩式①-②相減得

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）^n-1]-n×（

1

2

）ⁿ=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

]-n×（

1

2

）ⁿ=2-（

1

2

）^n-1-n×（

1

2

）ⁿ=2-（1+2n）（

1

2

）^n-1，
則T_n=4-（1+2n）（

1

2

）^n-2，
則{2n-n（

1

2

）^n-1}的前n項(xiàng)和S_n=

2n(n+1)

2

+4-（1+2n）（

1

2

）^n-2=n²+n+4-（1+2n）（

1

2

）^n-2．

點(diǎn)評：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查數(shù)列求和，要求熟練掌握錯位相減法．