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已知函數f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b為常數)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數．

(1)求f(x)的表達式；

(2)討論g(x)的單調性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值．


解　(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2x＋b，

因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.

∵g(x)為奇函數．∴g(－x)＝－g(x)．

∴f(x)＝－x3＋x2.

(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，

∴g′(x)＝－x2＋2.

令g′(x)＝0，

解得x1＝－，x2＝，

∴當x∈(－∞，－)，(，＋∞)時，g(x)單調遞減，

當x∈(－，)時，g(x)單調遞增．

又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，

∴g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝，

最小值為g(2)＝.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：


已知函數y＝f(x)(x∈R)．對函數y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數”為函數y＝h(x)(x∈I)．y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關于點(x，f(x))對稱．若h(x)是g(x)＝關于f(x)＝3x＋b的“對稱函數”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數b的取值范圍是________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知函數f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函數f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值．

(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：


對于在R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有(　　)

A．f(x)≥f(a)                           B．f(x)≤f(a)

C．f(x)>f(a)                            D．f(x)<f(a)

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，則導函數f′(x)是(　　)

A．僅有最小值的奇函數

B．既有最大值，又有最小值的偶函數

C．僅有最大值的偶函數

D．既有最大值，又有最小值的奇函數

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知函數f(x)的定義域是[－1,5]，部分對應值如下表，f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示.

x

－1

0

2

4

5

f(x)

1

2

1.5

2

1

下列關于函數f(x)的命題：

①函數f(x)的值域為[1,2]；

②函數f(x)在[0,2]上是減函數；

③如果當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；

④當1<a<2時，函數y＝f(x)－a最多有4個零點．

其中正確命題的序號是________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知f(x)為定義在(－∞，＋∞)上的可導函數，且f(x)<f′(x)，對于任意x∈R恒成立，則(　　)

A．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)

B．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)

C．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)

D．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)

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科目：高中數學 來源： 題型：


若函數f(x)，g(x)滿足f(x)·g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數．給出三組函數：

①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.

其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數的組數是(　　)

A．0                                    B．1

C．2                                    D．3

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知sin＝，則cos＝________.

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