Question

14．設(shè)p：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示雙曲線；q：方程x²-2mx+1=0有實(shí)數(shù)根，求使“p且q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 “p且q”為真命題，即p和q都為真命題，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)及△≥0，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：“p且q”為真命題，即p和q都為真命題，
當(dāng)命題p為真命題時(shí)，方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+2}=1$，表示雙曲線，
∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-2或m＞$\frac{1}{2}$}；  
當(dāng)命題q為真命題時(shí)，
方程x²-2mx+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=4m²-4（2-m）≥0，
解得：m≤-2，或m≥1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤-2或m≥1}，
綜上可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍{m|m＜-2或m≥1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的概念與應(yīng)用問(wèn)題，考查了命題真假的判斷問(wèn)題，一元二次方程有解的判斷問(wèn)題，屬于中檔題．