Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

1

2

BC=2，∠ABC=90°，△PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥DC；
（2）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得∠ADB=∠DBC=45°，過D作DM⊥BC，垂足為M，則DM=AB=MC=2，從而∠BDC=90°，由此能證明BD⊥DC．
（2）取AB中點O，連結(jié)PO，由已知得PO⊥平面ABCD，S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD，由此能求出V_P-BCD．

解答： （1）證明：∵AD=2，AB=2，AD⊥AB，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
過D作DM⊥BC，垂足為M，則DM=AB=MC=2，
∴∠DCM=45°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥DC．…（6分）
（2）解：取AB中點O，連結(jié)PO，
∵△PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB=

1

2

BC=2，∴PO=

22-12

=

3

，
∵S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD=

1

2

(2+4)×2-

1

2

×2×2=4，
∴V_P-BCD=

1

3

×PO×S△BCD=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用．