【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C：x2＝6y與直線l：y＝kx+3交于M，N兩點．

（1）設M，N到y(tǒng)軸的距離分別為d1，d2，證明：d1d2為定值．

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）見解析； （2） .

【解析】

（1）設點M（x1，y1）、N（x2，y2），將直線l的方程與曲線C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合距離公式可證明題中結論；（2）設P（0，b）為符合題意的點，利用兩點的斜率公式結合韋達定理計算直線PM與直線PN的斜率之和為0，得出b的值，從而證明點P的存在性．

（1）將直線l的方程與曲線C的方程聯(lián)立，消去y并整理得x2﹣6kx﹣18＝0．

設點M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1x2＝﹣18．

從而d1d2＝|x1||x2|＝|x1x2|＝18（定值）；

（2）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為符合題意的點，直線PM、PN的斜率分別為k1、k2，

從而＝．

當b＝﹣3時，有k1+k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補．

故∠OPM＝∠OPN，所以點P（0，﹣3）符合題意．

故以線段OP為直徑的圓的方程為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；

（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3，和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預期可獲利________元．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有關部門要了解甲型H1N1流感預防知識在學校的普及情況，命制了一份有10道題的問卷到各學校做問卷調查.某中學A、B兩個班各被隨機抽取5名學生接受問卷調查，A班5名學生得分為：5、8、9、9、9，B班5名學生得分為：6、7、8、9、10.

（1）請你判斷A、B兩個班中哪個班的問卷得分要穩(wěn)定一些，并說明你的理由；

（2）求如果把B班5名學生的得分看成一個總體，并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本，求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不小于1的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點是拋物線的焦點，點是拋物線上的定點，且.

求拋物線的方程；

直線與拋物線交于不同兩點，,直線AB與切線l平行，設切點為N點，試問的面積是否是定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱的定價為200元，低于100箱按原價銷售；不低于100箱通過雙方議價，買方能以優(yōu)惠成交的概率為0.6，以優(yōu)惠成交的概率為0.4.

（1）甲、乙兩單位都要在該廠購買150箱這種零件，兩單位各自達成的成交價相互獨立，求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率；

（2）某單位需要這種零件650箱，求購買總價的數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】命題：已知為實數(shù)，若關于的不等式有非空解集，則，寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這些命題的真假.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于四面體ABCD，給出下列四個命題：

①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD； ②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD；

其中正確的命題的序號是( )

A.①②B.②③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】計算機在數(shù)據(jù)處理時使用的是二進制，例如十進制數(shù)1,2,3,4的二進制數(shù)分別表示為1,10,11,100，二進制數(shù)…化為十進制數(shù)的公式為… ，例如二進制數(shù)11等于十進制數(shù)，又如二進制數(shù)101等于十進制數(shù)，下圖是某同學設計的將二進制數(shù)11111化為十進制數(shù)的程序框圖，則判斷框內應填入的條件是（ ）

A. B. C. D.

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