Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）定義：“對(duì)于在區(qū)域上有定義的函數(shù)和，若滿(mǎn)足恒成立，則稱(chēng)曲線(xiàn)為曲線(xiàn)在區(qū)域上的緊鄰曲線(xiàn)”.試問(wèn)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)是否存在相同的緊鄰直線(xiàn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)m分類(lèi)討論，求出函數(shù)的單調(diào)性.(2)先把命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與曲線(xiàn)是否相同的外公切線(xiàn)，再去求兩支曲線(xiàn)的外公切線(xiàn)令它們相等，最后轉(zhuǎn)化為唯一解問(wèn)題求出m的值.

詳解：（1）.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）原命題等價(jià)于曲線(xiàn)與曲線(xiàn)是否相同的外公切線(xiàn).

函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為

，即，

曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.

曲線(xiàn)與的圖象有且僅有一條外公切線(xiàn)，

所以

有唯一一對(duì)滿(mǎn)足這個(gè)方程組，且，

由（1）得代入（2）消去，整理得，

關(guān)于的方程有唯一解.

令，

∴.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

所以.

因?yàn)?/span>，；，，只需.

令，在為單減函數(shù)，

且時(shí)，，即，

所以時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，

此時(shí)，外公切線(xiàn)的方程為.

∴這兩條曲線(xiàn)存在相同的緊鄰直線(xiàn)，此時(shí).