Question

有一海灣，海岸線近似為橢圓的一段弧NM，M、N為橢圓弧上兩點，且MA⊥AB，NB⊥AB，AB間的距離為2公里，橢圓焦點為A、B，橢圓的短半軸長為

3

公里，在A、B處分別有甲、乙兩個化工廠，AB的中點為O．準備在海岸線上建一度假村P，不考慮風(fēng)向等因素影響，化工廠對度假村廢氣污染程度與排出廢氣的濃度成正比（比例系數(shù)都為正常數(shù)m），與距離的平方成反比（比例系數(shù)都為正常數(shù)n），又知化工廠甲排出的廢氣濃度是化工廠乙的8倍，已知化工廠乙排出的廢氣濃度為d（d為常數(shù)，0＜d＜1），設(shè)度假樹P距離甲化工廠x公里，度假村P受到甲、乙兩化工廠的污染程度之和記為f（x）．
（1）求f（x）的表達式并求定義域；
（2）度假村P距離甲化工廠多少時，甲、乙兩化工廠對度假村的廢氣污染程度和最��？

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由點P在橢圓上，知|PA|+|PB|=4，設(shè)|PA|=x，則|PB|=4-x，由此可得P點受甲化工廠污染程度、受乙化工廠污染程度，即可求得污染程度和；
（2）令f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）由點P在橢圓上，知|PA|+|PB|=4，設(shè)|PA|=x，則|PB|=4-x，
P點受甲油井污染程度為

8dmn

x2

，
P點受乙油井污染程度為

dmn

(4-x)2

，
污染程度和為f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

，定義域為[

3

2

，

5

2

]
（2）令f（x）=

8dmn

x2

+

dmn

(4-x)2

=dmn（

8

x2

+

1

(4-x)2

），
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=dmn（

-16

x3

+

-2

(4-x)3

）=-2dmn（

8

x3

+

1

(4-x)3

），
令f′（x）＞0，解得x＞

8

3

．
令f′（x）＜0，解得x＜

8

3

．
故x∈[

3

2

，

5

2

]時，函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x=

5

2

時，f（x）取得最小值．
即度假村距離甲化工廠

5

2

km時，度假村的廢氣污染程度和最�。�

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)思想，考查閱讀能力、建模能力、運算能力．屬于中檔題．