【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線：交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：點(diǎn)在直線上；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）詳見解析（3）存在，且

【解析】

（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入直線的方程，滿足方程，由此證得點(diǎn)在直線上.（3）由（2）知到的距離相等，根據(jù)兩個(gè)三角形面積的關(guān)系，得到是的中點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并由此求得的值.

解：(1) 解：由，解得，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，，，

，消得，，

解得

將代入到中，滿足方程

所以點(diǎn)在直線上.

（3）由（2）知到的距離相等，

若的面積是面積的3倍，得，

有，

∴是的中點(diǎn)，

設(shè)，則，

聯(lián)立，解得，

于是

解得，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng).為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)小組中隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）從參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率；

（2）在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，從來自甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點(diǎn)、，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，若直線與斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)奇函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，且，若函數(shù)對(duì)所有的都成立，則的取值范圍是_____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左，右兩焦點(diǎn)F1，F2的距離之和為2，離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，)滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和7個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個(gè)球.

（1）設(shè)表示摸出的紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）為了提高同學(xué)們參與游戲的積極性，參加游戲的同學(xué)每人可摸球兩次，每次摸球后放回，若規(guī)定兩次共摸出紅球的個(gè)數(shù)不少于，且中獎(jiǎng)概率大于60%時(shí)，即中獎(jiǎng)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，， ，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案