Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0.問(wèn)在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝kx－1對(duì)稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，寫(xiě)出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

圓C的方程可化為(x－1)²＋(y＋2)²＝9，圓心為C(1，－2)．

假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A，B滿足條件，

則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.                (2分)

于是可知，k_AB＝1.

設(shè)l_AB：y＝x＋b，代入圓C的方程，

整理得2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

則Δ＝4(b＋1)²－8(b²＋4b－4)＞0，即b²＋6b－9＜0.

解得－3－3＜b＜－3＋3.                                       (6分)

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝－b－1，x₁x₂＝b²＋2b－2.

也就是x₁x₂＋(x₁＋b)(x₂＋b)＝0.

由題意知OA⊥OB，則有x₁x₂＋y₁y₂＝0，                       (8分)

∴2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝0.

∴b²＋4b－4－b²－b＋b²＝0，化簡(jiǎn)得b²＋3b－4＝0.             (10分)

解得b＝－4或b＝1，均滿足Δ＞0，                          (11分)

即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0 .             (12分)