【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的單調性；

(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的取值集合.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導得，對分類討論，結合導數(shù)的性質，即可得到函數(shù)的單調性；（2）函數(shù)在上的最大值為1等價于對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得，分別對，及討論，即可求得實數(shù)的取值集合.

試題解析：（1）.

當時，在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞減；

當時，.

∴時，，在上遞減；

時，，在上遞增；

時，，在上遞減；

綜上，當時，在上單調遞減；

當時，在上遞減；

在上遞增；上遞減.

（2）∵函數(shù)在上的最大值為1

∴對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得.

當時，即，可得；

當時，.則

令，則.

當時，，當時，.

因此，，

∴.

當時，.則

令，則.

當時，，

因此，，

∴.

綜上，.

∴的取值集合為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當，時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；

(Ⅱ)求最大的整數(shù)，使得對任意，不等式恒成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且直線與曲線交于兩點.

（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）把直線與軸的交點記為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產品推銷員，日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元.

(I)請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關系式;

(II)從兩家公司各隨機選取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元)，將該頻率視為概率，請回答下面問題:

某大學畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請你利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由.

【答案】(I)見解析； (Ⅱ)見解析.

【解析】分析：(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關系是一次函數(shù)的關系式，而乙公司是分段函數(shù)的關系式，由此解得；(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列，從而可分別求得數(shù)學期望，進而可得結論.

詳解：(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關系式為: .

乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關系式為:

(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

122

124

126

128

130

0.2

0.4

0.2

0.1

0.1

記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

120

128

144

160

0.2

0.3

0.4

0.1

∴

∴僅從日均收入的角度考慮，我會選擇去乙公司.

點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；

第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；

第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值

【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點.

（1）證明： ；

（2）設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)有兩個極值點，，且．

（）求的取值范圍，并討論的單調性．

（）證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為探索課堂教學改革，江門某中學數(shù)學老師用傳統(tǒng)教學和“導學案”兩種教學方式，在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果，期末考試后，分別從兩個班級各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”。

（Ⅰ）請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳，并說明理由；

（Ⅱ）構造一個教學方式與成績優(yōu)良列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”?

（附：，其中是樣本容量）

獨立性檢驗臨界值表：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和.設線段， 的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的最小值；

（2）若在上為單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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