Question

在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足（b-c-a）（b-c+a）+bc=0．
（1）求∠A的大小；
（2）若f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式整理后代入計(jì)算求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（B）的范圍．

解答： 解：（1）∵在銳角△ABC中，（b-c-a）（b-c+a）+bc=（b-c）²-a²+bc=b²+c²-a²-bc=0，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=60°；
（2）f（B）=

3

2

sinB+

1

2

（cosB+1）=

3

2

sinB+

1

2

cosB+

1

2

=sin（B+30°）+

1

2

，
∵銳角△ABC，0＜B＜90°，
∴30°＜B+30°＜120°，即

1

2

＜sin（B+30°）＜1，
則f（B）的取值范圍為（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．