Question

已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②存在常數(shù)T＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個(gè)點(diǎn)，使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線重合．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來(lái)證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說(shuō)明其不成立；
③找出一個(gè)常數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根據(jù)切線的幾何意義，先求導(dǎo)，在找到特殊點(diǎn)，求出切線方程即可．

解答： 解：對(duì)于①，∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確；
對(duì)于②∵當(dāng)x=2kπ+

π

2

時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③取M=1，當(dāng)x₀=

π

2

時(shí)，|f（

π

2

）|=

π

2

≥1；故③正確；
對(duì)于④∵f′（x）=sinx+xcosx，
當(dāng)x=2kπ+

π

2

，f′（2kπ+

π

2

）=1=k，
f（2kπ+

π

2

）=2kπ+

π

2

∴切線方程為y-2kπ-

π

2

=x-2kπ-

π

2

即切線方程為y=x，
∴函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個(gè)點(diǎn)，使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線重合，故④正確
（為了讓學(xué)生更加理解，特畫(huà)圖）
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．