Question

已知x，y∈R且

x+y≤4 3x-y≥0 y≥0

，則存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用輔助角公式將條件進(jìn)行化簡，求出對應(yīng)的平面區(qū)域的面積即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴（4-x）cosθ-ysinθ=

2

，
即

(4-x)2+y2

cos（θ+β）=

2

，（β為參數(shù)），
∵存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴

(4-x)2+y2

≥

2

，
即（x-4）²+y²≥2，對應(yīng)的圖象是以（4，0）為圓心，半徑r=

2

的圓的外部，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則由

x+y=4 3x-y=0

，解得

x=1 y=3

，即A（1，3），
則△AOB的面積S=

1

2

×4×3=6，
圓在△AOB內(nèi)部的面積S=

1

2

×(

2

)2×

π

4

=

π

4

，
則（x-4）²+y²≥2，對應(yīng)的區(qū)域面積S=6-

π

4

，
則對應(yīng)的概率P=

6- π 4

6

=1-

π

24

，
故答案為：1-

π

24

點(diǎn)評：本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式結(jié)合線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．