Question

已知函數g（x）=1+

2

2x-1

．
（1）用定義證明函數g（x）在（-∞，0）上為減函數；
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數單調性的定義，先在所給區(qū)間上任設兩個數并確定好大小，然后通過作差法即可獲得自變量對應函數值的大小關系，由定義即可獲得問題的解答；
（2）由第（1）問，函數g（x）在（-∞，0）上為減函數，故函數g（x）在（-∞，-1]上為減函數，因此當x=-1時，函數g（x）取最小值．

解答： 解：（1）證明：（1）設x₁＜x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）=1+

2

2x1-1

-（1+

2

2x2-1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂＜0，∴2^x₂-2^x₁＞0且2^x₁-1＜0，2^x2-1＜0，∴

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（-∞，0）上為減函數．
（2）∵函數g（x）在（-∞，0）上為減函數，
∴函數g（x）在（-∞，-1]上為減函數，
∴當x=-1時，g(x)min=g(-1)=1+

2

2-1-1

=-3．

點評：本題考查的是函數單調性的問題．在解答的過程當中充分體現了函數單調性的定義、作差法、函數的單調性與函數最值的關系，屬于中檔題．