Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 點M（0，2）關于直線y=﹣x的對稱點在橢圓C上，且△MF1F2為正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，過點P（4，0）的直線PB交橢圓C于另一點E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，點M（0，2）關于直線y=﹣x的對稱點為（﹣2，0），

∵（﹣2，0）在橢圓上，∴a=2，

又△MF1F2為正三角形，

∴tan30°= ，c=2tan30°= ，

∴b2=a2﹣c2=4﹣ = ，

∴橢圓C的方程 + =1；

（2）解：∵P（4，0），

∴直線PB的方程可設為x=ky+4，

由 ，

得（2k2+3）y2+16ky+24=0，

∵△＞0，

∴k2＞ ．

設B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，﹣y1），

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=

直線AE：y+y1= （x﹣x1），

∵x1y2+x2y1=2ky1y2+4（y1+y2）= ﹣ =﹣ =y1+y2，

∴直線AE：y+y1= （x﹣x1），即為y= （x﹣1）恒過定點（1，0）．

∴AE恒過定點（1，0）．

【解析】（1）由題意畫出圖形，求出M點關于直線y=﹣x的對稱點，則a可求，再由△MF1F2為正三角形列式求得c，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求，（2）設直線PB的方程可設為x=ky+4，聯(lián)立方程組，設B（x1 ， y1），E（x2 ， y2），則A（x1 ， ﹣y1），根據(jù)韋達定理可得y1+y2=﹣ ，y1y2= ，由此能夠證明直線AE恒過定點（1，0）．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．