Question

已知函數(shù)g（x）=alnx，f（x）=x³+x²+bx．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)b=0時，設(shè)F（x）=

f(-x)，x＜1 g(x)，x≥1

，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[1，2]上有極值，即可得到不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的范圍；
（2）利用對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，轉(zhuǎn)化為a的不等式，通過函數(shù)的最值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）b=0，設(shè)F（x）=

f(-x)，x＜1 g(x)，x≥1

，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，得到

OP

•

OQ

=0，通過構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，判斷方程的解從而說明三角形斜邊中點在y軸上．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+x²+bx
得f'（x）=3x²+2x+b因f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)
所以f'（x）=3x²+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，
f′(x)=3x2+2x+b=3(x+

1

3

)2+b-

1

3

f′(x)max=16+b f′(x)min=5+b

∴-16＜b＜-5…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤(

x2-2x

x-lnx

)min…（6分）
令f(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，求導(dǎo)得，f′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，x∈[1，e]，
當(dāng)x∈[1，e]時，x-1≥0，0≤lnx≤1x+2-2lnx＞0，從而f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，∴(

x2-2x

x-lnx

)min=f（1）=-1，
∴a≤-1．…（8分）
（3）由條件，F(xiàn)（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

，
假設(shè)曲線y=F（x）上存在兩點P，Q滿足題意，
則P，Q只能在y軸兩側(cè)，…（9分）
不妨設(shè)P（t，F(xiàn)（t）），t＞0則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
∵△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，
∴-t²+F（t）（t³+t²）=0 （*），
是否存在P，Q等價于方程（*）在t＞0且t≠1時是否有解．
①若0＜t＜1時，方程（*）為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
化簡得t⁴-t²+1=0，此方程無解；…（12分）
②若t＞1時，方程（*）為-t²+alnt（t³+t²）=0，
即

1

a

=(t+1)lnt，
設(shè)h（t）=（t+1）lnt，（t＞1），則h′（x）=lnt+

1

t

+1，
顯然，當(dāng)t＞1時，h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（t）的值域為（h（1），+∞），即（0，+∞），
∴當(dāng)a＞0時，方程（*）總有解．
∴對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x） 上總存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，難度比較大的綜合題目．