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2.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=2,8an+1=2an+1+4an-1(n∈N),bn=1+4an(n∈N),數(shù)列cn=nn14,n∈N*,記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<2.

分析 由bn=1+4an>0(n∈N),可得b1=3,2n=1+4an,代入8an+1=2an+1+4an-1(n∈N),可得:2bn+1=bn+1,變形為:bn+1-1=12n1,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:bn.可得cn=n2n.再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 證明:∵bn=1+4an>0(n∈N),
∴b1=3,2n=1+4an,
代入8an+1=2an+1+4an-1(n∈N),
8×2n+114=2×2n14+bn-1,
化為2n+12=n+12,
可得:2bn+1=bn+1,
變形為:bn+1-1=12n1
∴數(shù)列{bn-1}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為12
∴bn-1=2×12n1=22-n
∴數(shù)列cn=nn14=n4×22n=n2n
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn=12+222+323+…+n2n
12Sn=122+223+…+n12n+n2n+1,
12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=12112n112-n2n+1=1-2+n2n+1,
∴Sn=2-2+n2n<2.

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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