分析 由bn=√1+4an>0(n∈N),可得b1=3,2n=1+4an,代入8an+1=2an+√1+4an-1(n∈N),可得:2bn+1=bn+1,變形為:bn+1-1=12(n−1),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:bn.可得cn=n2n.再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答 證明:∵bn=√1+4an>0(n∈N),
∴b1=3,2n=1+4an,
代入8an+1=2an+√1+4an-1(n∈N),
∴8×2n+1−14=2×2n−14+bn-1,
化為(2n+1)2=(n+1)2,
可得:2bn+1=bn+1,
變形為:bn+1-1=12(n−1),
∴數(shù)列{bn-1}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為12.
∴bn-1=2×(12)n−1=22-n.
∴數(shù)列cn=n(n−1)4=n4×22−n=n2n.
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn=12+222+323+…+n2n,
12Sn=122+223+…+n−12n+n2n+1,
∴12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=12(1−12n)1−12-n2n+1=1-2+n2n+1,
∴Sn=2-2+n2n<2.
點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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