【題目】已知拋物線：的焦點為，拋物線上的點到準線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點，與拋物線交于，兩點，，分別為弦，的中點，求的最小值.

【答案】（1）；（2）32.

【解析】

（1）根據(jù)題意，解得答案.

（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程解得，，則，利用均值不等式得到答案.

（1）因為拋物線上的點到準線的最小距離為2，所以，解得，

故拋物線的方程為.

（2）焦點為，，所以兩直線，的斜率都存在且均不為0.

設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，

故直線的方程為，聯(lián)立方程組

消去，整理得.

設(shè)點.，則.

因為為弦的中點，所以.

由，得，故點.

同理可得.

故，.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.

所以的最小值為32.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若對于曲線上任意點處的切線，總存在上處的切線，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．

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【題目】電動摩托車的續(xù)航里程，是指電動摩托車在蓄電池滿電量的情況下一次能行駛的最大距離.為了解A，B兩個不同型號電動摩托車的續(xù)航里程，現(xiàn)從某賣場庫存電動摩托車中隨機抽取A，B兩個型號的電動摩托車各5臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下：

電動摩托車編號

1

2

3

4

5

A型續(xù)航里程（km）

120

125

122

124

124

B型續(xù)航里程（km）

118

123

127

120

a

已知A，B兩個型號被測試電動摩托車續(xù)航里程的平均值相等.

（1）求a的值；

（2）求A型號被測試電動摩托車續(xù)航里程標準差的大小；

（3）從被測試的電動摩托車中隨機抽取A，B型號電動摩托車各1臺，求至少有1臺的續(xù)航里程超過122km的概率.

（注：n個數(shù)據(jù)，的方差，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點到拋物線C：y2=2px準線的距離為2．

（Ⅰ）求C的方程及焦點F的坐標；

（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，求的面積.

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【題目】三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校要從甲、乙兩名同學(xué)中選擇一人參加該市組織的數(shù)學(xué)競賽，已知甲、乙兩名同學(xué)最近7次模擬競賽的數(shù)學(xué)成績（滿分100分）如下:

甲:79，81，83，84，85，90，93；

乙：75，78，82，84，90，92，94.

（1）完成答題卡中的莖葉圖；

（2）分別計算甲、乙兩名同學(xué)最近7次模擬競賽成績的平均數(shù)與方差，并由此判斷該校應(yīng)選擇哪位同學(xué)參加該市組織的數(shù)學(xué)競賽.

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【題目】某公司的甲、乙兩名工程師因為工作需要，各自選購一臺筆記本電腦.該公司提供了三款筆記本電腦作為備選，這三款筆記本電腦在某電商平臺的銷量和用戶評分如下表所示：

型號

銷量（臺）

2000

2000

4000

用戶評分

8

6.5

9.5

若甲選購某款筆記本電腦的概率與對應(yīng)的銷量成正比，乙選購某款筆記本電腦的概率與對應(yīng)的用戶評分減去5的值成正比，且他們兩人選購筆記本電腦互不影響.

（1）求甲、乙兩人選購不同款筆記本電腦的概率；

（2）若公司給購買這三款筆記本電腦的員工一定的補貼，補貼標準如下表：

型號

補貼（千元）

3

4

5

記甲、乙兩人獲得的公司補貼之和為千元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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