Question

設(shè)雙曲線Γ的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，斜率為k的直線l過雙曲線Γ的右焦點且交雙曲線Γ于A，B兩點，設(shè)直線OA，OB（O為坐標原點）的斜率為k₁，k₂．
（1）若雙曲線Γ的一條漸近線的傾斜角為60°，頂點到漸近線的距離為

3

2

，求雙曲線Γ的方程；
（2）在（1）中雙曲線Γ的方程的條件下，求k₁•k₂的值（計算的結(jié)果用k表示）；
（3）若點M為雙曲線Γ上的一點，且存在銳角θ使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，問此時k₁•k₂是否可能為定值？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意列方程組

b a =tan60° ab a2+b2 = 3 2 c2=a2+b2

，從而求出雙曲線的方程；
（2）由題意，直線l的方程為y=k（x-2），與x²-

y2

3

=1聯(lián)立消y可得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，利用韋達定理簡化運算；
（3）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則

x 2 A

a2

-

y 2 A

b 2

=1，

x 2 B

a2

-

y 2 B

b2

=1；又設(shè)M（x，y），

x=xAcosθ+xBsinθ y=yAcosθ+yBsinθ

，代入雙曲線方程化簡求解．

解答： 解：（1）由題意得，

b a =tan60° ab a2+b2 = 3 2 c2=a2+b2

，
解得，a²=1，b²=3，
故雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1；
（2）由題意，直線l的方程為y=k（x-2）；
與x²-

y2

3

=1聯(lián)立消y可得，
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
故3-k²≠0，且△=16（k²）²+4（3-k²）（4k²+3）＞0，
k≠±

3

，
由韋達定理可得，
x_A+x_B=

-4k2

3-k2

，x_Ax_B=

-4k2-3

3-k2

，
y_Ay_B=k²[x_Ax_B-2（x_A+x_B）+4]
=k²[

-4k2-3

3-k2

-2

-4k2

3-k2

+4]，
=

9k2

3-k2

，
則k₁•k₂=

yAyB

xAxB

=

9k2

3-k2

÷

-4k2-3

3-k2

=

9k2

-4k2-3

，（k≠±

3

）；
（3）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則

x 2 A

a2

-

y 2 A

b 2

=1，

x 2 B

a2

-

y 2 B

b2

=1；
又設(shè)M（x，y），
則由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

得，

x=xAcosθ+xBsinθ y=yAcosθ+yBsinθ

，
則

(xAcosθ+xBsinθ)2

a2

-

(yAcosθ+yBsinθ)2

b2

=1，
整理得，
（

x 2 A

a2

-

y 2 A

b 2

）cos²θ+（

x 2 B

a2

-

y 2 B

b2

）sin²θ+2（

xAxB

a2

-

yAyB

b2

）sinθcosθ=1，
則cos²θ+sin²θ+2（

xAxB

a2

-

yAyB

b2

）sinθcosθ=1，
則2（

xAxB

a2

-

yAyB

b2

）sinθcosθ=0，
∵θ是銳角，∴sinθcosθ≠0，
∴

xAxB

a2

-

yAyB

b2

=0，
∴k₁•k₂=

yAyB

xAxB

=

b2

a2

；為定值．

點評：本題考查了雙曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，化簡很困難，屬于難題．