如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
（1）見解析（2）
(1)∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.
∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，設(shè)P(0,0，a)(a>0)，
則E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，則m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，依題意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，則a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 為等邊三角形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，平面平面.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．

(1)證明：PA∥平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知向量
a
=（-1，x，3），
b
=（2，-4，y），且
a
∥
b
，那么x+y等于（　�。�
A．-4B．-2C．2D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

有以下命題：
①如果向量
a
，
b
與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么
a
，
b
的關(guān)系是不共線；
②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量
OA
，
OB
，
OC
不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；
③已知向量
a
，
b
，
c
是空間的一個基底，則向量
a
+
b
，
a
-
b
，
c
，也是空間的一個基底．
其中正確的命題是（　�。�
A．①②B．①③C．②③D．①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F且EF＝，則下列結(jié)論中錯誤的是    (　　)．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱錐A-BEF的體積為定值
D．異面直線AE，BF所成的角為定值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在邊長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，試用向量的方法：

求證：平面；
求與平面所成的角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若平面向量與向量平行，且，則(    )
A．B．C．D．或

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