Question

【題目】已知函數, ．

（1）當x≥0時，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；

（2）當x＜0時，研究函數F（x）=h（x）﹣g（x）的零點個數；

（3）求證：（參考數據：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導數，討論a＞1和a≤1，判斷導數的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導數和二階導數，判斷F'（x）的單調性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F(xiàn)（x）的單調性和零點個數；（3）由（1）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令；由（2）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，令，結合條件，即可得證．

（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），

則，

①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，

H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，所以a≤1；

②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，

且x→+∞時，H'（x）→+∞，則x0∈（0，+∞），

使H'（x0）=0進而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

所以當x∈（0，x0）時H（x）＜H（0）=0，

即當x∈（0，x0）時，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．

（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，

則F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時，F(xiàn)'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，

故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（﹣∞，0）無零點；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，

進而F（x）在遞減，在遞增，，

且x→﹣∞時，，

F（x）在上有一個零點，在無零點，

故F（x）在（﹣∞，0）有一個零點．

綜合①②，當a≤﹣1時無零點；當a＞﹣1時有一個零點．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，

令，則即；

由（Ⅱ）知，當a=﹣1時，span>對x＜0恒成立，

令，則，所以；

故有．