Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）試求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，分類討論當(dāng)和時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理，得出在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合即可得出結(jié)論.

解：（1），

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，由，

得，

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（2）時(shí)，，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，

由根的存在定理可知，在上存在零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

從而在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由（1）可知存在最大值，

且，

①若，即時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，

②若，即時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

③若，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以在上存在零點(diǎn)，

由（1）可知在單調(diào)遞增，

所以在上有且只有一個(gè)零，

下面尋找，使得滿足，且，

先證明若，則，

令，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，

，

令，解得，

取，

則，

又因?yàn)?/span>，

所以在存在零點(diǎn)，

由（1）可知在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以有且只有兩零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).