Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cos2A+

3

2

=2cosA．
（1）求角A的大��；
（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用二倍角公式以及特殊角的三角函數值，即可得到A；
（2）運用正弦定理，求得b，c，再由兩角差的正弦公式，結合正弦函數的圖象和性質，即可得到范圍．

解答： 解：（1）cos2A+

3

2

=2cosA，
即2cos²A-1+

3

2

=2cosA，
即有4cos²A-4cosA+1=0，
（2cosA-1）²=0，
即cosA=

1

2

，（0＜A＜π），
則A=

π

3

；
（2）由正弦定理可得b=

asinB

sinA

=

sinB

3 2

=

2

3

sinB，
c=

asinC

sinA

=

2

3

sinC，
則l=a+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），
由A=

π

3

，B+C=

2π

3

，
則sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
即有l(wèi)=1+2sin（B+

π

6

），
由于0＜B＜

2π

3

，則

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
即有2＜l≤3．
則有△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查正弦定理和二倍角公式及兩角和差的正弦公式，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．