Question

（1）函數(shù)y=x

1

3

(1-x)

2

3

的單調(diào)區(qū)間，并求極值；
（2）求函數(shù)y=4x³+3x²-36x+5在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)y=4x³+3x²-36x+5在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性，即可求出極值，然后求區(qū)間端點處的函數(shù)值，進行大小比較即可．

解答： 解：（1）∵y=x

1

3

(1-x)

2

3

，
∴y′=

1

3

x-

2

3

(1-x)-

1

3

（1-3x），
∴由y′＞0得，x＜

1

3

或x＞1，
由y′＜0得，

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

1

3

），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

3

，1），
∴當(dāng)x=

1

3

時，函數(shù)有極大值為

3 4

3

，
當(dāng)x=1時，函數(shù)有極小值為0．
（2）f′（x）=12x²+6x-36=6（x+2）（2x-3），
令f′（x）=0，得x=-2或

3

2

，
所以函數(shù)在（-∞，-2），（

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，

3

2

）上單調(diào)遞減，
因為f（-2）=-32+12+72+5=57，f（

3

2

）=-

115

4

，f（2）=-23，
所以f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為57，最小值為-

115

4

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)單調(diào)極值及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬中檔題．