Question

如圖所示，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，′E為DD′的中點(diǎn)，BD′為正方體的對(duì)角線，
（1）求證：BD′∥平面ACE；
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，沿著平面ACE將正方體截去一個(gè)棱錐D-ACE，求剩下的幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，交AC于O，由已知得OE∥BD′，由此能證明BD′∥平面ACE．
（2）截去的幾何體為三棱錐，以△ADC為底面，則DE為三棱錐的高，求出正方體的體積和截去的三棱錐的體積，由此能求出剩下的幾何體的體積．

解答： （1）證明：連接BD，交AC于O，
在△ACE中，E，O分別為DD′和AC的中點(diǎn)，
∴OE∥BD′，
又∵BD′不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BD′∥平面ACE．
（2）解：截去的幾何體為三棱錐，若以△ADC為底面，則DE為三棱錐的高，
∵正方體的棱長(zhǎng)為a，∴正方體的體積為V1=a3，
截去的三棱錐的體積V₂=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

a2•

1

2

a=

1

12

a3，
∴剩下的幾何體的體積V₃=V₁-V₂=a3-

1

12

a3=

11

12

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．