Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EP⊥PB交PB于點(diǎn)F
（1）證明PA∥平面EDB；
（2）若PD=DC=2，求三棱錐A-DCE的體積；
（3）證明：PB⊥EFD平面．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)圖形的性質(zhì)得出PA∥BO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB．即可得證PA∥平面EDB，
（2）得出三棱錐E-ABD高為EHV_A-BDE=V_E-ABD求解即可．
（3）根據(jù)直線平面的垂直，判斷可以推證．

解答： 證明：（1）連接AC，AC交BD于點(diǎn)D．連接EO，如圖．

∵底面ABCD是正方形．
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
在△PAC中，EO是中位線，
∴PA∥BO，
而EO?平面EDB且PA?平面EDB．
所以PA∥平面EDB，
（2）設(shè)CD點(diǎn)為H連接EH，得EH∥PD，且EH=

1

2

PD=1，
∵PD⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴三棱錐E-ABD高為EH，
∴V_A-BDE=V_E-ABD=

1

3

S_△ABD•EH=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

，
（3）DC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC，
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，
∴BC⊥ED．
由①和②推得DE⊥平面PBC           
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD，

點(diǎn)評(píng)：本題考察了直線與平面垂直，平行的判斷，屬于中檔題，難度不大．