Question

設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線y²＝4px (p>0)上除原點(diǎn)O以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？

Answer 1

解　設(shè)直線OA的方程為y＝kx (k≠±1，因?yàn)楫?dāng)k＝±1時(shí)，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－，

將①②相乘，得y²＋4pky＝－x(x－4pk²)，

即x²＋y²＝－4pky＋4pk²x＝4p(k²x－ky)，③

又k²x－ky＝x，代入③式并化簡(jiǎn)，

得(x－2p)²＋y²＝4p².

當(dāng)k＝±1時(shí)，易求得直線AB的方程為x＝4p.

故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4p,0)，也在(x－2p)²＋y²＝4p² (x≠0)上．

∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)²＋y²＝4p² (x≠0)，

∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．