Question

設各項為正的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：2S_n=a_n•（a_n+1）；數列{b_n}滿足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），且b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）設T_n為數列{

1

bn+2n

}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）確定數列{a_n}是以a₁=1為首項，1為公差的等差數列，可求數列{a_n}的通項；利用疊加法求數列{b_n}的通項；
（2）利用裂項求和可求T_n，從而T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，可轉化為

n

n+2

≤λ（n+1）對一切n∈N^*恒成立，結合數列的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）n=1時，2S₁=a₁•（a₁+1），∴a₁=1
∵2S_n=a_n•（a_n+1），
∴n≥2時，2S_n-1=a_n-1•（a_n-1+1），
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，1為公差的等差數列，
∴a_n=n；
∵b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

n(n-1)

2

+1=

n2-n+2

2

n=1時也成立，
∴b_n=

n2-n+2

2

；
（2）

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=2（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

，
∵T_n≤λa_n+1對一切n∈N^*恒成立，
∴

n

n+2

≤λ（n+1）對一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

n

(n+2)(n+1)

．
∵

n

(n+2)(n+1)

=

1

n+ 2 n +3

≤

1

1+2+3

=

1

6

（n=1或2），
∴λ≥

1

6

，
∴實數λ的最小值為

1

6

．

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式的應用，數列的遞推公式的應用及數列的裂項求和及數列的單調性在數列的最值求解中的應用，難度中等．