Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

．
（1）用函數(shù)單調性的定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）設x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，結合已知可判斷f（x₁）＞f（x₂），從而可證．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[3，6]上是增函數(shù)，故最值在端點處�。�

解答： 解：（1）證明：設x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）
=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調遞增．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在[3，6]上是增函數(shù)；
∴ymax=f(6)=

35

6

，ymin=f(3)=

8

3

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性的定義在證明函數(shù)的單調性中的應用