Question

【題目】設(shè)為奇函數(shù)，a為常數(shù).

（1）求a的值；

（2）判斷函數(shù)在時(shí)單調(diào)性并證明；

（3）若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)x的值，不等式恒成立，求m取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

(1)根據(jù)f(x)為奇函數(shù),可得f(x)+f(-x)=0,然后化簡(jiǎn)求出a的值;

(2)直接利用作差法證明對(duì)且,恒成立即可;

(3)不等式恒成立,只需,求出在[3,4]上的最小值即可得到m的取值范圍.

解:(1)因?yàn)?/span>f(x)是奇函數(shù),所以,

即對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,

化簡(jiǎn)得,所以.

當(dāng)時(shí),真數(shù),不符合題意,

當(dāng)時(shí),為奇函數(shù),

所以a=-1;

(2)由(1)得.設(shè),則

.

下面判斷與1的大小.

因?yàn)?/span>,且,

所以,即.

又,所以,所以.

又,所以,即,

所以函數(shù)在上為增函數(shù);

(3)由已知,得.

由(2)知在上遞增,又在上遞增,

所以在上遞增.

所以,

所以.