【題目】己知函數.
(1)試討論f(x)的單調性;
(2)若函數有且只有三個不同的零點,分別記為x1,x2,x3,設x1<x2<x3,且
的最大值是e2,求x1x3的最大值.
【答案】(1)當m≤0時,函數在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增;當m>0時, 函數
在(0,
)上單調遞增,函數
在(
,+∞)上單調遞減;(2)
.
【解析】
(1)求出函數的導數,對m分類討論,解得導函數大于0及小于0的范圍,即可得到單調性.
(2)由條件可將問題轉化函數y=m的圖象與函數的圖象有兩個交點.分析可得0<x1<e,x3>e.令
,則t∈
.由
,解得
構造
,t∈
,利用導函數轉化求解即可.
(1)函數的定義域為(0,+∞).
由已知可得.
當m≤0時,>0,故
在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增;
當m>0時,由>0,解得
;由
0,解得
.
所以函數在(0,
)上單調遞增,在(
,+∞)上單調遞減.
綜上所述,當m≤0時,函數在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增;
當m>0時, 函數在(0,
)上單調遞增,
函數在(
,+∞)上單調遞減.
(2)∵ 函數g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三個不同的零點,
顯然x=e是其零點,
∴ 函數存在兩個零點,即
有兩個不等的實數根.
可轉化為方程在區(qū)間(0,+∞)上有兩個不等的實數根,
即函數y=m的圖象與函數的圖象有兩個交點.
∵ ,
∴ 由>0,解得
,故
在上單調遞增;
由<0,解得x>e,故
在(e,+∞)上單調遞減;
故函數y=m的圖象與的圖象的交點分別在(0,e),(e,+∞)上,
即lnx-mx=0的兩個根分別在區(qū)間(0,e),(e,+∞)上,
∴ g(x)的三個不同的零點分別是x1,e,x3,且0<x1<e,x3>e.
令,則t∈
.
由,解得
故,t∈
.
令,則
.
令,則
.
所以在區(qū)間
上單調遞增,即
>
.
所以,即
在區(qū)間
上單調遞增,
即≤
=
,
所以,即x1x3≤
,
所以x1x3的最大值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列結論正確的有( )
A.公共汽年上有10位乘客,沿途5個車站,乘客下車的可能方式有種.
B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列,則兩位女生不相鄰的概率是;
C.若隨機変量服從二項分布
,則
;
D.已知一組數據丟失了其中一個,剩下的六個數據分別是3,3,5,3,6,11,若這組數據的平均數、中位數,眾數依次成等差數列,則丟失數據的所有可能值的和為12.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】李莊村某社區(qū)電費收取有以下兩種方案供農戶選擇:
方案一:每戶每月收管理費2元,月用電不超過30度,每度0.4元,超過30度時,超過部分按每度0.5元.
方案二:不收管理費,每度0.48元.
(1)求方案一收費元與用電量
(度)間的函數關系;
(2)小李家九月份按方案一交費34元,問小李家該月用電多少度?
(3)小李家月用電量在什么范圍時,選擇方案一比選擇方案二更好?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】進入冬天,大氣流動性變差,容易形成霧握天氣,從而影響空氣質量.某城市環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質量的相關性,以確定是否對車輛實施限行.為此,環(huán)保部門采集到該城市過去一周內某時段車流量與空氣質量指數的數據如下表:
(1)根據表中周一到周五的數據,求y關于x的線性回歸方程。
(2)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2,則認為得到的線性回歸方程是可靠的.請根據周六和周日數據,判定所得的線性回歸方程是否可靠?
注:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為
.
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【題目】已知雙曲線(
,
),
,
是雙曲線的兩個頂點,
是雙曲線上的一點,且與點
在雙曲線的同一支上,
關于
軸的對稱點是
,若直線
,
的斜率分別是
,
,且
,則雙曲線的離心率是( )
A.B.
C.
D.
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【題目】有12個球,顏色、大小完全一樣,在重量上,其中一個球不合格,但不知這個球比標準的重還是輕.能否在一架天平上只稱三次(不用砝碼),把這個不合格的球找出來?
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【題目】某學校在學校內招募了名男志愿者和
名女志愿者.將這
名志愿者的身高編成如右莖葉圖(單位:
),若身高在
以上(包括
)定義為“高個子”,身高在
以下(不包括
)定義為“非高個子”,且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”.
(Ⅰ)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取人,再從這
人中選
人,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?
(Ⅱ)若從所有“高個子”中選名志愿者,用
表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數,試寫出
的分布列,并求
的數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是一個高為4長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正(主)視圖和側(左)視圖(單位:)
(1)求異面直線與
所成角的余弦;
(2)將求異面直線與
所成的角轉化為求一個三角形的內角即可,要求只寫出找角過程,不需計算結果;
(3)求異面直線與
所成的角;要求同(2).
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