Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a為常數(shù)）
（1）若直線x+y+1=0是曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導f′（x）=

1

x

-a=-1，從而可得

1

a-1

+ln

1

a-1

-a

1

a-1

+1=0；從而求a；
（2）化簡f（x）=lnx-ax，求導f′（x）=

1

x

-a，從而討論a以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a=-1，
∴x=

1

a-1

，f（

1

a-1

）=ln

1

a-1

-a•

1

a-1

；
故

1

a-1

+ln

1

a-1

-a•

1

a-1

+1=0；
故ln

1

a-1

=0；
解得，a=2；
（2）f（x）=lnx-ax，f′（x）=

1

x

-a，
①當a≤

1

2

時，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
故故f（x）=lnx-ax在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
故f_max（x）=f（2）=ln2-2a；
②當

1

2

＜a＜1時，
當x∈[1，

1

a

]時，f′（x）≥0；當x∈[

1

a

，2]時，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-ax在區(qū)間[1，2]上先增后減，
故f_max（x）=max{f（2），f（1）}；
即當

1

2

＜a＜ln2時，f_max（x）=ln2-2a；
當ln2≤a＜1時，f_max（x）=-a；
③當a≥1時，故當x∈[1，2]時，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
故f_max（x）=f（1）=-a．
綜上所述，a≤ln2時，f_max（x）=f（2）=ln2-2a；
當a＞ln2時，f_max（x）=f（1）=-a．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及導數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎題．